В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3 . На ребре В1С1 отмечена точка L так, что B1L=1. Точки К и М – середины ребер АВ и А1С1 соответственно. Плоскость гамма параллельна прямой АС и содержит точки К и L. а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости гамма б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение данной призмы плоскостью гамма .

ребер АВ и А1С1 соответственно. Плоскость гамма параллельна прямой АС и содержит точки К и L. а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости гамма б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение данной призмы плоскостью гамма .

  • 03-02-2007 13:14
  • Просмотры: 33
Ответы ( 1 )
Вячеслав Швец
+1
03-02-2007 16:52

А) Сечение призмы плоскостью гамма представляет собой равнобедренную трапецию. Так как плоскость гамма параллельна прямой АС, то линии пересечения этой плоскостью оснований призмы параллельны между собой. Пусть это будут отрезки L1L и KK1. Так как основания призмы - правильные треугольники, то отсекаемые плоскостью гамма треугольники тоже правильные и имеют стороны по 1 и по 3 (на основании задания). Рассечём призму плоскостью, проходящей через ребро АА1 перпендикулярно стороне АС. Эта плоскость проходит через высоты оснований призмы и через ось трапеции В2К2 в сечении гамма . В этой плоскости лежит заданная прямая ВМ, которая пересекает ось трапеции В2К2 в точке О. Определим тангенсы углов наклона прямых ВМ и В2К2 к основанию призмы. Высота основания ВМ1 равна 6*cos30° = 6*(√3/2) =3√3. tg(BM)=3/(3√3) =1/√3. Проекция В2К2 на основание равна (3√3/2) - (√3/2) = √3. tg(В2К2) = 3/√3 = √3. То есть углы составляют 30 и 60 градусов. Отсюда вывод - прямая ВМ перпендикулярна плоскости гамма. б) Высота трапеции h в сечении гамма равна: h = √(3+(√3)) = √(9+3) = √12 = 2√3. Площадь трапеции So = ((1+3)/2)*(2√3) = 4√3. Высота заданной пирамиды H - это отрезок МО, равный ВМ - ВО. ВМ = √(3+(3√3)) = √(9+27) = √36 = 6. ВО = ВК2*cos30° = (3√3/2)*(√3/2) = 9/4. H = 6 - (9/4) = 15/4. Объём заданной пирамиды равен: V = (1/3)So*H = (1/3)*(4√3)*(15/4) = 5√3.

Похожие вопросы