Ответы: 1
Костя Сомчук
2017-11-15 02:36
Утверждение. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Доказательство: I способ. Дано: ABC, BCA=90 Доказать: медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Доказательство: 1) В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA. 2) AOC — равнобедренный с основанием AC (по определению равнобедренного треугольника). Значит, у него углы при основании равны:OAC=OCA=. 3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90, то в треугольнике ABC B=90- . 4) Так как BCA=90 (по условию), то BCO=90- OCA=90-. 5) Рассмотрим треугольник BOC. BCO=90-, B=90- , следовательно, BCO=B. Значит, треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC (по признаку равнобедренного треугольника). Отсюда BO=CO. 6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2OA=2CO. Таким образом, точка O — середина гипотенузы AB, отрезок CO соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, значит, CO — медиана, проведенная к гипотенузе, и она равна половине гипотенузы. Что и требовалось доказать.